Diferenças entre edições de "Medida"
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*<tex>\mu(E)=\left\{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.</tex> | *<tex>\mu(E)=\left\{\begin{array}{ll}0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.</tex> | ||
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Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo. | Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo. | ||
*Medida de Dirac: | *Medida de Dirac: | ||
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:<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex> | :<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex> | ||
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*<tex>\mu(\emptyset)=0</tex> | *<tex>\mu(\emptyset)=0</tex> | ||
*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois. | *<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois. | ||
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Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente. | Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente. | ||
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*Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então | *Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então | ||
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:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | :<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | ||
==Propriedades== | ==Propriedades== | ||
Algumas medidas possuem propriedades adicionais: | Algumas medidas possuem propriedades adicionais: | ||
− | + | ===Medida completa=== | |
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:<tex>\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,</tex>, onde <tex>A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}</tex> | :<tex>\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,</tex>, onde <tex>A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}</tex> | ||
(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.) | (contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.) | ||
− | + | ===Medida de Borel=== | |
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− | + | ===Regularidade interior=== | |
:<tex>\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X</tex> e <tex>K\,</tex> são compactos. | :<tex>\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X</tex> e <tex>K\,</tex> são compactos. | ||
− | + | ===Regularidade exterior=== | |
:<tex>\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X</tex> e <tex>V\,</tex> são abertos. | :<tex>\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X</tex> e <tex>V\,</tex> são abertos. | ||
− | + | ===Medida finita=== | |
+ | O espaço inteiro tem medida finita. | ||
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:<tex>\mu(S)<\infty\,</tex> | :<tex>\mu(S)<\infty\,</tex> | ||
− | + | ===Medida <tex>\sigma-</tex>finita=== | |
+ | O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita. | ||
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Revisão das 13h28min de 11 de outubro de 2008
Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.
Índice
Medida positiva
Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.
São consequências directas da definição de medida positiva:
- Positividade:
- Monotonicidade
Exemplos
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
- Medida de Dirac:
Medida complexa
Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
Exemplos
- Seja uma função complexa Lebesgue integrável. Então
- define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de
Propriedades
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
Medida completa
Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
Medida invariante por translações
- , onde
(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
Medida de Borel
Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
Regularidade interior
- e são compactos.
Regularidade exterior
- e são abertos.
Medida finita
O espaço inteiro tem medida finita.
Medida finita
O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
Medida localmente finita
Todo compacto é mensurável e tem medida finita
- , para todo compacto
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